I numeri primi sono tra gli oggetti più affascinanti della matematica. Oggi definiamo numero primo ogni numero naturale maggiore di 1 che possiede esattamente due divisori positivi distinti: 1 e sé stesso. I primi numeri primi sono quindi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
Ma questa definizione non è sempre stata così.
Quando 1 era considerato primo
Una curiosità poco nota è che, nella storia della matematica, il numero 1 è stato per lungo tempo considerato un numero primo. Le definizioni utilizzate dai matematici del passato erano infatti diverse da quella attuale e l’1 occupava una posizione particolare: per alcuni era un numero primo, per altri non apparteneva propriamente né ai primi né ai numeri composti.
La definizione moderna, secondo cui 1 non è un numero primo, si è affermata progressivamente tra il XIX e il XX secolo. La scelta non è soltanto una questione terminologica: escludere l’1 permette di mantenere una delle proprietà fondamentali dell’aritmetica, cioè l’unicità della scomposizione in fattori primi.
Per esempio:
6 = 2 × 3
Se 1 fosse considerato primo, potremmo scrivere anche:
6 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3 = …
e la scomposizione non sarebbe più unica. Escludendo 1 dall’insieme dei numeri primi, ogni numero intero maggiore di 1 possiede invece una scomposizione in fattori primi unica, a meno dell’ordine dei fattori.
Un’idea antica e un mistero moderno
Lo studio dei numeri primi risale all’antichità. Già Euclide, più di duemila anni fa, dimostrò che i numeri primi sono infiniti: per quanto lunga sia la lista dei numeri primi conosciuti, ne esisterà sempre almeno un altro.
Eppure, nonostante la loro apparente semplicità, i numeri primi continuano a nascondere profondi interrogativi. La loro distribuzione tra i numeri naturali presenta regolarità sorprendenti, ma anche aspetti ancora non completamente compresi.
La loro importanza non è soltanto teorica. Oggi i numeri primi hanno applicazioni fondamentali nell’informatica e nella crittografia, dove le proprietà dei numeri molto grandi vengono utilizzate per proteggere informazioni e comunicazioni digitali.
Una delle più semplici idee della matematica — distinguere i numeri primi dagli altri — conduce così a una storia millenaria, a problemi ancora aperti e ad applicazioni che fanno parte della nostra vita quotidiana.